WordPressでは、親カテゴリや祖先カテゴリを取得する方法が色々とあります。
ただ、この方法を使えば全てをカバーできる、という物がないので、状況によって使い分けましょう。

親カテゴリのIDを取得する

直接の親にあたるカテゴリだけが必要な場合は、カテゴリのparentプロパティから取得します。

例として、表示中の記事のカテゴリの、親カテゴリを取得します。

get_the_categoryで取得できるカテゴリは配列なので、例では配列の最初のカテゴリの、親カテゴリを取得しています。

もし親カテゴリが無い場合は、parentプロパティは数値0になります。

祖先カテゴリのIDを全て取得する

祖先カテゴリを全て取得するには、get_ancestors関数を使います。

例として、表示中の記事のカテゴリの、祖先カテゴリのIDを取得します。

get_ancestors関数は祖先のIDを配列で返します。
その際、引数で指定したカテゴリ(例では表示中の記事のカテゴリ)のIDは含みません。

配列は、階層の下から上の順番になります。直接の親IDはインデックス[0]になります。
パンくずリストに使う時は、配列の順番を逆にする必要があるので、気を付けましょう。

祖先カテゴリのリストを取得する

get_category_parents関数は、祖先カテゴリをパンくずリストのような形で取得します。

リストには、引数で指定したカテゴリ(例では表示中の記事のカテゴリ)も含みます。

第2引数をtrueにすると、各カテゴリのアーカイブページへのリンクが生成されます。

セパレータ '/' は第3引数で変更することができます。
また、一番最後のセパレータは必ず付いてしまいます(下の例では「スポーツ」の後の▶)。

結局、カテゴリIDしか取得できない?

親カテゴリや祖先カテゴリについては、get_categories関数のような、カテゴリ情報全てをオブジェクトで取得できる関数はありません。
取得したIDとget_categories関数と組み合わせるなど、用途によって、上記の方法をうまく使い分けるしかないようです。